映射与基数

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映射与基数

性质特征函数

$\chi_{A\cap B}=\chi_A\chi_B$.
$\chi_{A\cup B}=\chi_A+\chi_B-\chi_{A\cap B}$.
$\chi_{A\backslash B}=\chi_A(1-\chi_B)$.
$\chi_{A\Delta B} =\chi_A+\chi_B-2\chi_A\chi_B= \chi_A^2+\chi_B^2-2\chi_A\chi_B=(\chi_A-\chi_B)^2=|\chi_A-\chi_B|$.

定理 $\text{Cantor-Bernstein}$ 定理

若集合 $X$ 与 $Y$ 的某个真子集对等, $Y$ 与 $X$ 的某个真子集对等, 则 $X\sim Y$.

证明

设 $f:A\rightarrow B_0\subsetneq B,\quad g:B\rightarrow A_0\subsetneq A$ 是两个双射.

令 $A_1=A\backslash A_0,\ B_1=f(A_1),\ A_2=g(B_1)\subseteq A_0,\ B_2=f(A_2)\subseteq B_0\backslash B_1\cdots$.
从而有 $$ \forall k\geqslant 1,\left\lbrace \begin{aligned}
B_k=f(A_k) \\ A_{k+1}=g(B_k)
\end{aligned}\right.
\Rightarrow
\bigcup\limits_{k\geqslant1}B_k=f\left(\bigcup\limits_{k\geqslant1}A_k\right)
\Rightarrow \bigcup\limits_{k\geqslant1}B_k\sim\bigcup\limits_{k\geqslant1}A_k
$$
又有 $A\backslash\left(\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k\right)=A_0\backslash\bigcup\limits_{k=2}^\infty A_k$, 可得
$$
\begin{aligned}
g^{-1}\left(A\backslash\bigcup\limits_{k=1}^\infty\right)&=\\ \end{aligned}
$$

定义基数

如果对集合 $A,B$ 有 $A\sim B$, 则称 $A,B$ 的基数相等, 记作 $\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}$.

定义有限集

对于集合 $A$, $\exists\ n\geqslant 1,\ s.t.\ A\sim\{1,2,3,\cdots,n-1,n\}$. 则称之为有限集, 且 $\oll{A}=n$. 否则称无限集.

定义

记自然数集 $\mathbb{N}$ 的基数为 $\aleph_0$.

和自然数集等势的集合称为可列集.

注

该部分名称与陆亚明《数学分析入门》中不同, 此处定义可数集为有限集+可列集, 也称其为至多可列集.

性质

任一无限集 $E$ 必包含一个可列子集.

注

该性质说明, 在众多无限集中, 最小的基数是 $\aleph_0$.

性质

集合 $A$ 是无限集且基数为 $\alpha$, 集合 $B$ 为可列集, 则 $A\cup B$ 的基数为 $\alpha$

证明

不妨设 $A\cap B=\varnothing$, 由性质可知存在可列集 $A_2$ 使得 $A=A_1\cup A_2\wedge A_1\cap A_2=\varnothing$, 并记 $A_2=\{a_1,a_2,\ldots\}$.

$B$ 可列 $\Rightarrow$ $B=\{b_1,b_2,\ldots\}$.

定义 $$ \left\lbrace\begin{array} {l}
\begin{array}{l}
f(a_n)=a_{2n}\\ f(b_n)=a_{2n-1}
\end{array},\quad \forall n\geqslant 1\\ f(x)=x,\quad \forall x\in A.
\end{array}\right. $$

性质

设 $A_n$ 是可列集, $\forall n\geqslant 1$. 则
$\bigcup\limits_{n=1}^\infty$ 是可列集.
$\bigoplus\limits_{i=1}^n A_i$ 为可列集, 其中 $\bigoplus$ 为笛卡尔积.
$\bigcup\limits_{n=1}^\infty A^n$ 可列, 其中 $A$ 为可列集.

其中第三条由前两条推出, 在第二条中取 $A_n=A$ 可得 $A^n$ 可列, 再由第一条可知.

例

$\mathbb{R}$ 中互不相交的开区间构成的集合是至多可列的.

证明

考虑每个开区间内都至少包含一个有理数, 从而得到该集合到有理数集某个子集的映射.

定理

设 $B$ 是全体自然数列构成的集合, 自然数列即由自然数组成的数列. 则 $B$ 不可数.

证明

反设 $B$ 可数, 那么我们可以将自然数列排成一列, 如下 $$
\begin{array} {ccccc}
a_{1,1} & a_{1,2} &\cdots & a_{1,n} & \cdots\\ a_{2,1} & a_{2,2} &\cdots & a_{2,n} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots& a_{n,n} & \cdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots
\end{array} $$

那么考虑数列 $A=\{a_{1,1}+1,a_{2,2}+1,\cdots,a_{n,n}+1,\cdots\}$, 显然不存在一个数列和该数列相同, 所以 $A\notin B$, 故 $B$ 不可数.

例

实区间 $[0,1]$ 是不可数集.

证明

考虑区间 $(0,1]$, 对任意 $x\in(0,1]$, 考虑 $x$ 的二进制表示法 $x=0.a_1a_2\cdots a_n\cdots,\ a_i\in\{0,1\}$, 取出 $a_i=1$ 的位置, 即 $x=\sum\limits_{i=1}^\infty 2^{-n_i}$, 其中 $\{n_i\}$ 是递增的自然数子集. 我们令 $k_1=n_1,k_i=n_i-n_{i-1},\forall i\geqslant 2$, 那么 $\{k_i\}$ 是自然数列. 由此我们构造了自然数列到 $(0,1)$ 的双射. 根据定理可知 $(0,1]$ 不是可数集.

定义

我们称 $(0,1]$ 的基数是连续基数, 记为 $c$ (或 $\aleph_1$).

利用 $\tan$ 等函数我们可以知道 $(0,1)\sim\mathbb{R}$, 故 $\oll{R}=c$.

性质

设有集合列 $\{A_k\}$. 若每个 $A_k$ 的基数都是连续基数, 则其并集 $\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k$ 的基数也是连续基数.

证明

有 $A_k\sim[k,k+1)$, 故 $\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k\sim[1,+\infty)\sim(0,1]$.

定理无最大基数定理

若 $A$ 是非空集合, 则 $A$ 与其幂集 $\mathscr{P}(A)$ 不对等.

证明

采用反证法, 反设 $A\sim\mathscr{P}(A)$, 则存在双射 $f:A\to\mathscr{P}(A)$. 令 $B=\{y\in A:y\notin f(y)\}$, 则 $\exists y\in A,s.t.\ f(y)=B$.

下面分情况讨论:

(1) $y\in B$, 则 $y\notin f(y)=B$.
(2) $y\notin B$, 则 $y\in f(y)=B$.

均矛盾, 故假设不成立, 因此 $A$ 与 $\mathscr{P}(A)$ 不对等.

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